Mise en place
Soit une cible en forme de cercle, contenu dans un carré.
Règles du jeu
- Un joueur lance un dart sur la cible.
-
2 cas sont possibles
-
Si le joueur frappe la cible, on trace ainsi une ligne entre le point d'impact et le centre de la cible. On calcule ensuite la
longueur du segment de corde perpendicualaire. Cette longueur sera le nouveau diamètre de la cible pour la prochaine ronde et on
reprend à l'étape 1.
-
Si le joueur ne frappe pas la cible, le jeu s'arrête et le joueur score le nombre de points égal au nombre de flèche qu'il a lancé.
- Si le joueur frappe la cible, on trace ainsi une ligne entre le point d'impact et le centre de la cible. On calcule ensuite la longueur du segment de corde perpendicualaire. Cette longueur sera le nouveau diamètre de la cible pour la prochaine ronde et on reprend à l'étape 1.
- Si le joueur ne frappe pas la cible, le jeu s'arrête et le joueur score le nombre de points égal au nombre de flèche qu'il a lancé.
Exemples
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La Question
Si un joueur lance aléatoirement de façon uniforme, à chaque lancer, dans le carré de jeu. Quelle est l'espérence de son score?
La Réponse
Soit
On s'interesse à
Positionnons la cible dans un plan cartésien, avec le centre de celle-ci à l'origine
Soient
-
le rayon courant -
le rayon de la prochaine manche sachant qu'on a frappé la cible -
les coordonnées du dart
Par pyhtagore, on a
On notera aussi la formule suivante
On remarque que
Intuitivement on comprend que la probabilité d'obtenir plus que 1 est la probabilité de réussir le premier lancer, soit l'aire de la cible sur l'aire de la zone de jeu.
Autrement dit
Si nous poursuivons ce raisonnement, et en remarquant que
Par extension, la probabilité d'avoir plus que 2, sera la volume d'une hypersphère en 4D divisé par le volume d'un hypercube en 4D
Ainsi,
Heureusement, nous avons des formules pour ces hypervolumes.
Et donc,
Ceux d'entre vous qui ont déjà fait des mathématiques, sont assez familiers avec le terme
Je sens votre fébrilité, nous y reviendrons bientôt...
On ajoutera aussi que
Revenons à notre calcul d'espérance
Wow ! On a finalement notre réponse
L'analyse
Il est très interessant de voir qu'un problème géométrique en 2D, peut être résolu avec des formules de volumes en dimensions supérieures.
Aussi intéressant de noter que le ratio du volume d'une hypersphère par rapport à son hypercube tend vers 0.
ie, plus la dimension augmente plus la "sphère" devient petite par rapport au cube.
La simulation
Utiliser la simulation ci-bas pour essayer de jouer au jeu.
Aussi observez que plus le nombre d'essais augmentera, plus le score moyen devrait tendre vers